Попробую еще раз про парадокс с медицинскими тестами

Как-то моя вчерашняя запись не вызвала никакого ажиотажа. Ну, я, конечно, и не ожидал, что вызовет, но ожидал, что интереса будет больше. По-моему, этот парадокс куда более контринтуитивен, чем задача про три двери, и уж точно несравнимо более "практичен".

Я думаю, дело в том, что изложил я саму задачу так, что многие отвлеклись на частности, не имеющие отношения к парадоксу: симптомы там и т.п. Зря я вообще эти симптомы помянул.

Нужно, конечно, было формулировать на примере с опухолью. Я об этом думал, но я не люблю вспоминать опухоли и рак без особой нужды. Сейчас, правда, все равно сформулирую.

Есть опухоль. Известно, что только один процент таких опухолей является злокачественными. Проводится тест, который дает правильный ответ, доброкачественная/злокачественная, в 90 процентах случаев. Тест говорит что злокачественная.

Вопрос: какова вероятность того, что тест прав, и опухоль действительно злокачественная? Ответ: вероятность небольшая, 8.3%.

По-моему, на поверхности этот результат выглядит очень неожиданно. Тест дает правильный ответ в 90% случаев, но вот в этом случае вероятность, что тест прав меньше десяти процентов.

И, как я говорил, сами врачи, вроде, не очень это понимают. Ниже я процитирую mtyukanov, который приводит конкретный пример.

Теперь я сформулирую абсолютно ту же задачу, но на примере другой модели. И, по-моему, смена модели делает вывод уже совсем не неожиданным.

Есть коробка с белыми и черными шарами. Белых шаров -- один процент, остальные -- черные. Есть робот, который правильно определяет цвет шара (черный или белый) в 90 процентах случаев. Из коробки наугад достают шар и дают его роботу. Робот говорит, что шар белый.

Ворпос: какова вероятность того, что шар действительно белый? Ответ: всего 8.3%.

Тут, по-моему, резултат выглядит естественно. Понятно что, поскольку белых шаров всего один процент, скорее всего, робот ошибся.

Ну вот. И этот парадокс встречается во многих ситуациях. Те же проврки на детекторе лжи, например...

Тепрь обещанная цитата mtyukanov'а:

Это, кстати, реальная проблема. В разных страх (в США -- в разных страховых компаниях) периодически начинают устраивать поголовное тестирование на какую-либо болезнь с целью выявить на возможно более ранней стадии. Понятно, особенно это популярно со всевозможными видами рака.

И получается примерно так -- тест (возьмем неплохой, 95% -- "только" 5% ложно-положительных результатов) показывает, что у человека такой-то рак. Заболеваемость им -- 0,01%. Значит, из 10 000 обследованных у одного рак. Но тест даст ложно-положительный результат в 5%, т.е. для 500 человек. Их (как и больного, для простоты опустим ложноотрицательные результаты) прооперируют операцией с невысокой, в общем, смертностью -- 0,6%. Итак, 3 здоровых человека умрет от операции, чтобы один больной был своевременно вылечен.

Я сам понятия не имею так ли это. Мне казалось, что при положительном результате теста всегда будут делать повторный и т.д. То есть просто по результату теста операцию делать не будут. Но не знаю.